Jocurile de sloturi și-au menținut zeci de ani supremația în topul popularității jocurilor de cazino. Printre factorii responsabili de această popularitate, putem menționa, pe lângă designul fizic și caracteristicile jocului în sine, diversitatea. Există pe piață mii și mii de jocuri de sloturi, cu design și configurații unice, din care jucătorii pot alege în baza unor criterii subiectiv-personale (cum ar fi temele de design), dar și obiective, vizând anumiți indicatori statistici.
Atât diversitatea acestor jocuri, cât și alegerea criterială, sunt posibile datorită modului în care jocurile de sloturi sunt concepute, anume în baza unui design interior matematic. Dincolo de carcasele strălucitoare, simbolurile viu colorate și sunetele câștigului, există un model matematic ce stă la baza concepției acestor jocuri, prin care se stabilește configurația parametrică a unui joc și indicatorii statistic-financiari ai acestuia.
Matematica aplicată în crearea acestor jocuri, de fapt un domeniu restrâns din teoria probabilităților și statistică, le asigură funcționalitatea, unicitatea și implicit diversitatea generală, oferind producătorului inclusiv garanția că jocul său este profitabil și conform cerințelor sale.
Acest articol prezintă o imagine de ansamblu asupra noțiunilor de bază ale modelelor matematice aflate în spatele jocurilor de sloturi și a modului în care matematica este aplicată pentru crearea unui nou joc, exemplificată și explicată pentru jucătorii fără o formație matematică avansată.
Munca matematicianului în crearea unui joc de sloturi
Rolul matematicianului în crearea unui nou joc de sloturi este decisiv. Înainte de producerea jocului în forma sa fizică sau la cazinouri online, este necesară stabilirea configurației sale parametrice, care constă în: numărul de role, numărul de simboluri unice care apar pe role, distribuția acestor simboluri pe role (cantitativ și ca aranjament), combinațiile câștigătoare, bonusurile, precum și schema de plată pentru fiecare combinație câștigătoare.
Toată această configurație nu reprezintă doar o simplă alegere pentru un design unic, ci este rezultatul unei munci matematice sistematice, deoarece ea trebuie să corespundă unor cerințe inițiale, anume:
- să fie unică pe piață și conformă viziunii echipei de producție-design
- să fie compatibilă cu hardware-ul disponibil pentru producție
- să furnizeze indicatorii statistic-financiari impuși de producător – probabilitățile de câștig pentru fiecare combinație câștigătoare, procentul de returnare (RTP; media statistică a sumelor plătite jucătorilor drept câștiguri/premii, raportat la totalul sumelor pariate de aceștia) și indexul de volatilitate (măsura statistică a frecvenței câștigurilor și a cuantumului acestora).
O astfel de muncă este una laborioasă, datorită numărului mare de variabile care trebuie urmărite. Dacă la jocurile vechi de sloturi (mecanice, cu 3-5 role), configurația parametrică putea fi stabilită prin muncă manuală, acest lucru nu a mai fost posibil pentru jocurile moderne, cu mai multe role virtuale, mai multe simboluri și scheme de plăți mai complexe. De aceea, au fost dezvoltate programe speciale de calculator care să ajute matematicianul în demersul său. Acest calculatoriu nu elimină însă nevoia de analiză a opțiunilor, alegeri potrivite, testare teoretică și practică a configurațiilor. Într-un fel, matematicianul de sloturi “jonglează” cu parametrii și opțiunile posibile și le manipulează pentru a ajunge la un rezultat mulțumitor, cât mai aproape de cerințele impuse.
Simboluri și combinații de simboluri
Simbolurile care apar pe role determină combinațiile de simboluri care reprezintă rezultatul unei rotiri, dintre care se stabilesc cele câștigătoare. Aceste combinații sunt într-un fel “genele” unui joc de sloturi, deoarece determină comportamentul financiar al mașinii pe termen lung, inclusiv frecvența medie cu care va furniza premii. Întreaga matematică din spatele unui joc de sloturi pleacă de la aceste combinații.
Simbolurile sunt plasate pe role în poziții numite ‘stopuri’, care marchează punctele de oprire a rolei după rotire, pe linia de plată (payline). La mașinile electromecanice și electronice, combinația câștigătoare este generată prin RNG (Random Number Generator), care alege aleator câte un stop pe fiecare rolă virtuală.
La mașinile de sloturi vechi, mecanice, numărul de stopuri ale unei role coincide cu numărul de simboluri vizibile pe rolă (instanțe ale aceluiași simbol, chiar repetate, inclusiv blank-uri, considerate tot simboluri), de obicei în număr de 22. Odată cu dezvoltarea noilor tehnologii de sloturi și apariția rolelor virtuale, a fost posibilă plasarea mai multor simboluri pe role: O rolă virtuală poate conține de obicei până la 240 de stopuri, iar la mașinile de sloturi electromecanice din generația a treia, la rolele fizice (conținând un număr redus de stopuri fizice) sunt atașate role virtuale cu mult mai multe stopuri, pe care implicit pot fi plasate mai multe simboluri. Corespondența specifică dintre rola virtuală și cea fizică (mapping), face ca unui anumit grup de stopuri de pe rola virtuală să îi corespundă un anumit stop de rola fizică. RNG-ul alege aleator o combinație de stopuri pe rolele virtuale, dând comanda de oprire pe stopurile corespondente ale rolelor fizice.
Sursa imaginii: https://cdspress.ca/wp-content/s/2022/07/Nigel-Turner-Roger-Horbay-.pdf
Probabilitățile combinațiilor de simboluri
Fiecare combinație de simboluri pe rolele unei mașini are o anumită probabilitate de apariție. Aceste probabilități elementare stau la baza întregului calcul statistic necesar alegerii unei anumite configurații parametrice a jocului de sloturi.
Dar, pentru a înțelege mai bine cum funcționează designul matematic al unui joc de sloturi, vom începe într-un fel cu sfârșitul: Rezultatul final al muncii matematicianului de sloturi este o fișă tehnică asociată fiecărui joc în parte, așa-numita ‘PAR sheet’ (Probability and ing Report sheet). În această fișă (care este ținută secretă de către majoritatea producătorilor) sunt notate – în tabele specifice – simbolurile mașinii, distribuția lor pe role, precum și indicatorii probabilistic-statistici asociați acestor combinații de simboluri.
Probabilitățile elementare nu sunt foarte importante pentru producător (care este interesat mai mult de indicatori statistici cumulativi, precum RTP și volatilitate), dar sunt esențiale pentru operațiunile matematice făcute cu ajutorul programului de calculator, care stabilește configurația parametrică finală. Cât despre jucători, aceasta ar fi o informație de interes, însă nu este disponibilă (obținerea acestor informații se poate face doar pe calea unei intervenții legale; există însă un număr restrâns de fișe PAR făcute publice, obținute atât pe cale legală, cât și la solicitarea unor cercetători).
În cele ce urmează, vom vedea în mod concret cum se obțin aceste probabilități și cum contribuie acestea la calculul indicatorilor statistici ai jocului, analizând o fișă PAR a unui joc aflat pe piață.
Parametrii de bază și distribuția simbolurilor
Primul pas al designului configurației parametrice este stabilirea numărului de simboluri unice folosite în joc. Odată stabilit acest număr, precum și numărul de role și stopuri, se poate trece la stabilirea distribuției simbolurilor pe role. În exemplul nostru, jocul are trei role, o linie a rezultatelor, iar tabelul cu simboluri și distribuția lor este următorul:
| Simboluri | R1 | R2 | R3 |
|---|---|---|---|
| 7D | 0 | 1 | 0 |
| 3D | 0 | 1 | 0 |
| 2D | 0 | 2 | 0 |
| 1D | 0 | 4 | 0 |
| X7 | 0 | 2 | 0 |
| X3 | 0 | 2 | 0 |
| X2 | 0 | 3 | 0 |
| X1 | 0 | 10 | 0 |
| DJ | 0 | 2 | 0 |
| B7 | 4 | 3 | 2 |
| 3B | 8 | 11 | 8 |
| 2B | 24 | 12 | 24 |
| 1B | 36 | 26 | 36 |
| BL | 56 | 49 | 58 |
În fiecare coloană R1, R2 și R3 sunt notate numerele de instanțe ale fiecărui simbol (distribuția sa pe rolă). Pe rândul etichetat ‘Total’ apare de fapt numărul stopurilor fiecărei role, în cazul nostru, 128 stopuri. Numărul total de combinații (2097152) este produsul 128 x 128 x 128, reprezentând numărul tuturor combinațiilor posibile de stopuri ale celor trei role care pot apărea pe linia rezultatului; mai este numit și ‘ciclul complet’ al mașinii. Când sunt alese și testate anumite distribuții de simboluri, acestea trebuie să verifice condiția ca pe fiecare rolă numerele de instanțe să totalizeze 128, numărul de stopuri.
Trebuie să facem deci distincția între combinațiile de simboluri și combinațiile de stopuri (care conțin simbolurile), pentru că probabilitățile se obțin prin raportul numerelor acestor combinații.
Spre exemplu, numărul combinațiilor posibile de simboluri de tip 3B 3B 3B (un simbol ‘triple bar’ pe fiecare rolă) este 8 x 11 x 8 = 704, conform distribuției acestui simbol. Acesta este numărul combinațiilor de stopuri care conțin acel simbol. Probabilitatea de apariție a unei combinații 3B 3B 3B va fi deci P(3B 3B 3B) = 704/2097152 = 0.00033 = 0.033%
Combinații câștigătoare, frecvențe, rate de plată
Combinațiile câștigătoare se stabilesc și se tabelează împreună cu numărul de combinații de stopuri aferente și rata de plată a fiecărei combinații.
| Symbols | Factors | Total Hits | Minus | Actual Hits | 1st Coin Pays | 2nd Coin Pays | 1st Coin Out | 2nd Coin Out |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B7 7D B7 | 4 1 2 | 8 | 0 | 8 | 0 | 5000 | 0 | 40000 |
| B7 X7 B7 | 4 2 2 | 16 | 0 | 16 | 0 | 1000 | 0 | 16000 |
| B7 DJ B7 | 4 2 2 | 16 | 0 | 16 | 1000 | 1000 | 16000 | 16000 |
| B7 B7 B7 | 4 3 2 | 24 | 0 | 24 | 500 | 500 | 12000 | 12000 |
| 3B 3D 3B | 8 1 8 | 64 | 0 | 64 | 0 | 400 | 0 | 25600 |
| 3B X3 3B | 8 2 8 | 128 | 0 | 128 | 0 | 200 | 0 | 25600 |
| 3B DJ 3B | 8 2 8 | 128 | 0 | 128 | 200 | 200 | 25600 | 25600 |
| 2B 2D 2B | 24 2 24 | 1152 | 0 | 1152 | 0 | 200 | 0 | 230400 |
| 2B X2 2B | 24 3 24 | 1728 | 0 | 1728 | 0 | 100 | 0 | 172800 |
| 2B DJ 2B | 24 2 24 | 1152 | 0 | 1152 | 100 | 100 | 115200 | 115200 |
| 2B 1B 2B | 8 11 8 | 704 | 0 | 704 | 100 | 100 | 70400 | 70400 |
| 2B 2B 2B | 24 12 24 | 6912 | 0 | 6912 | 50 | 50 | 345600 | 345600 |
| 1B 1D 1B | 36 4 36 | 5184 | 0 | 5184 | 0 | 40 | 0 | 207360 |
| 1B X1 1B | 36 10 36 | 12960 | 0 | 12960 | 0 | 20 | 0 | 259200 |
| 1B DJ 1B | 36 2 36 | 2592 | 0 | 2592 | 20 | 20 | 51840 | 51840 |
| XB 1B XB | 68 2 68 | 4624 | -64 | 4560 | 0 | 20 | 0 | 91200 |
| XB 2D XB | 68 2 68 | 9248 | -1152 | 8096 | 0 | 20 | 0 | 161920 |
| XB 2B XB | 68 4 68 | 18496 | -5184 | 13312 | 0 | 20 | 0 | 266240 |
| XB 3B XB | 68 8 68 | 33696 | 0 | 33696 | 10 | 10 | 336960 | 336960 |
| XB 3D XB | 68 2 68 | 9248 | -128 | 9120 | 0 | 10 | 0 | 91200 |
| XB X3 XB | 68 8 68 | 13872 | -1728 | 12144 | 0 | 10 | 0 | 121440 |
| XB X1 XB | 68 10 68 | 46240 | -12960 | 33280 | 0 | 10 | 0 | 332800 |
| XB DJ XB | 68 2 68 | 9248 | -3872 | 5376 | 10 | 10 | 53760 | 53760 |
| XB XB XB | 68 49 68 | 226576 | -41312 | 185264 | 5 | 5 | 926320 | 926320 |
| Total | 404016 | -66400 | 337616 | 1953680 | 3995440 |
Pentru fiecare combinație câștigătoare (Symbols), în tabelul general de mai sus sunt notate distribuțiile simbolurilor pe role (Factors), numărul combinațiilor de stopuri care produc această combinație câștigătoare (Actual hits), rata de plată asociată combinației câștigătoare (Pays) și totalul plătit ca premii dacă fiecare combinație de stopuri aferentă se produce o singură dată (Out). În exemplul nostru, sunt două rate de plată pentru o combinație câștigătoare, pentru unul sau două credite (coins) pariate.
Exemplu: Combinația 3D 3B 3D poate fi obținută prin 8 x 1 x 8 = 64 combinații de stopuri, are o rată de plată de zero pentru 1 credit și 400 pentru 2 credite, iar mașina va plăti 64 x 400 = 25600 credite pentru un ciclu al acestei combinații (când se rulează cele 64 de rotiri care produc combinațiile de stopuri aferente combinației 3D 3B 3D).
Probabilitatea de apariție a unei combinații de simboluri 3D 3B 3D este raportul dintre numărul combinațiilor de stopuri aferente (64) și ciclul complet al mașinii (2097152): P(3D 3B 3D) = 64/2097152 = 0.00003 = 0.003%. Poate fi interpretată ca fiind frecvența medie relativă de apariție a acelei combinații (circa o dată la 33333 rotiri).
Odată ce avem această probabilitate, se poate calcula speranța matematică (valoarea așteptată) a acestui pariu, după formula clasică EV = probabilitatea de câștig x câștigul net – probabilitatea de a pierde x pierderea netă.
RTP și indexul de volatilitate
Probabilitățile combinațiilor câștigătoare nu sunt trecute în tabelul general de mai sus, însă acestea sunt luate în calcul, cumulat, pentru a afla procentul de returnare al mașinii (RTP).
RTP-ul este obținut utilizând totalurile din ultima linie a tabelului de mai sus.
| Credits | Total Hits | Total Out | Total In | Hit % | Pay % |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 235848 | 1953680 | 2097152 | 11.25% | 93.16% |
| 2 | 337616 | 3995440 | 4194304 | 16.10% | 95.26% |
În coloana etichetată „Hit %” este notată frecvența combinațiilor câștigătoare la un ciclu complet al mașinii. Acest procent ne spune de câte ori un jucător poate obține un câștig pe termen lung, în medie.
Ultima coloană „Pay %“ indică RTP-ul pentru fiecare denominare (1 sau 2 credite), ca un simplu raport între suma totală returnată ca premii și suma totală încasată din creditele pariate, pentru un ciclu complet al mașinii.
Pentru 1 credit: RTP = 1953680/2097152 = 93,16%
Pentru 2 credite: RTP = 3995440/4194304 = 95,26%
Pentru jocurile care oferă bonusuri în credite la un anumit număr de rotiri, acestea sunt luate în calcul la obținerea RTP, care se modifică față de RTP-ul rezultat direct din aplicarea schemei de premii ale combinațiilor câștigătoare.
RTP-ul nu este singurul indicator statistic urmărit de producători. Aceștia sunt interesați și de indexul de volatilitate al mașinii. Acest index reflectă comportamentul statistic al mașinii în ceea ce privește premiile, răspunzând la întrebarea: Va plăti mașina mai des, cu premii mai mici, sau va plăti mai rar, cu premii mai mari?
În tabelul următor este notat indexul de volatilitate (V.I.) al jocului analizat, pentru diverse numere de rotiri (puteri ale lui 10), precum și limitele valorilor RTP reale, pentru un interval de încredere de 90%.
Here’s the table extracted from the image:
| Număr de rotiri | Interval de încredere | Limita Inferioară | Limita superioară |
|---|---|---|---|
| 1,000 | 35.530 | 59.73% | 130.79% |
| 10,000 | 11.236 | 84.02% | 106.49% |
| 100,000 | 3.553 | 91.71% | 98.81% |
| 1,000,000 | 1.124 | 94.14% | 96.38% |
| 10,000,000 | 0.355 | 94.90% | 95.61% |
Intervalul de încredere este probabilitatea ca ratele de returnare și profit să fie în parametrii stabiliți de către producător – de obicei se setează la 90% sau 95%.
Ajustare, modificare, tatonare
Așa cum am spus, fișa PAR, din care am învățat ceva despre matematica de bază a jocurilor de sloturi, este produsul final, rezultatul analizei și muncii matematicianului, care definește configurația parametrică a unui joc în designul și limitele impuse de către producător.
Pentru a definitiva această configurație, matematicianul execută mai multe încercări, tatonări și schimbări parametrice, cu ajutorul programelor de calculator specifice acestor procese.
Concret, odată stabilite simbolurile și distribuția acestora pe role, se pleacă de la o anumită schemă de premii (ratele de plată), care se ajustează până când indicatorii RTP și indexul de volatilitate ajung la valorile sau în intervalul stabilit de către producător.
Este vorba de ajustarea valorilor din coloana ‘Pays’ din tabelul combinațiilor câștigătoare. O primă cerință este ca aceste rate de câștig să aibă o anumită “corectitudine” relativ la probabilitatea de câștig, în sensul ordinii, anume cu cât această probabilitate este mai mică, rata de plată să fie mai mare.
Orice modificare de valori în tabelul principal va afecta valorile indicatorilor RTP (Pay) și V.I. din tabelele următoare, deoarece toți parametrii sunt corelați.
Ajustarea poate viza și schema de bonusuri, dacă acestea sunt oferite în jocul respectiv. Acestea se pot mări sau micșora, la fel și numărul de rotiri necesare bonusului, pentru a obține valoarea RTP dorită.
Dacă în urma încercărilor de ajustare a ratelor de plată nu se pot atinge parametrii țintă, se poate “umbla” înapoi la configurația simbolurilor, modificând distribuțiile acestora sau chiar numărul simbolurilor unice.
Este, bineînțeles, o muncă ce presupune abilități matematice și analitice, dar și creative, fiind o muncă de responsabilitate, ale cărei rezultate sunt confirmate ulterior prin teste empirice de simulare.
Crearea de efecte prin manipulare parametrică
Alegerea unei anumite configurații parametrice pentru un joc de sloturi nu vizează întotdeauna doar funcționalitatea sa și obținerea indicatorilor statistici doriți de producător. Există de foarte multe ori și scopul adițional de a crea anumite efecte sau iluzii pentru jucător, care să sporească atractivitatea jocului și să inducă jucătorului dorința de a continua.
Este vorba în primul rând de efectul de ‘ratare de aproape’ (near miss). Parametrii unui joc, anume distribuția și aranjamentul simbolurilor pe role, pot fi manipulați în actul de design matematic, astfel încât anumite combinații de simboluri să apară cu o anumită frecvență (mai mare decât cea naturală) pe o linie a rezultatului sau adiacent acestor linii. Aceste combinații pot induce o falsă iluzie a ratării de aproape a combinației câștigătoare (de exemplu, două simboluri identice pe linia de câștig și al treilea de același fel pe altă linie adiacentă, în dreptul stopului al treilea, așa-zis “ratat”).
Sursa imaginii: researchgate.net
Astfel de efecte se pot crea prin tehnici speciale (modificarea distribuției simbolurilor câștigătoare pe role sau procedeul numit ‘clustering’, pentru jocurile cu role virtuale).
Alte efecte, precum iluzia controlului sau efectul de ‘spațiu probabilistic favorabil’ prin popularea liniilor cu simboluri identice – în cazul jocurilor cu linii multiple – pot fi obținute prin alegerea potrivită a configurației parametrice.
Matematica aplicată în crearea unui joc de sloturi poate contribui la realizarea acestor efecte psihologice, prin manipularea parametrilor jocului. Astfel de efecte au fost catalogate de către experții în jocul problematic ca factori de risc, însă aspectul etic și legal al acestei practici este o altă discuție.
Concluzii
Jocurile de sloturi sunt create în baza unui design matematic, prin care se alege configurația parametrică a jocului, care să reflecte cerințele producătorului în ceea ce privește caracteristicile tehnice și indicatorii statistici și financiari. Configurația parametrică este cea care asigură unicitatea jocului și profitul cazinoului.
Deși matematica aplicată la crearea unui joc de sloturi nu este una avansată, folosind noțiuni de bază din teoria probabilităților și statistică, procesul de design al configurației este opera unui matematician, ajutat de programe specifice de calculator. Acest proces presupune abilități matematice de alegere, corelare, ajustare și testare.
Prin ajustarea parametrilor și alegerea unei anumite configurații, rezultatele mașinii pot genera inclusiv efecte psihologice, care afectează comportamentul jucătorilor.
Multe mituri și concepții greșite pe care le au jucătorii despre jocurile de sloturi pot fi demontate, dacă jocul în sine este asociat cu modelele matematice pe care se bazează și noțiunile acestora sunt bine înțelese.
Întrebări frecvente
-
Jocurile de sloturi sunt concepute în baza unor modele matematice care stabilesc parametrii jocului (distribuția simbolurilor pe role, numărul și aranjamentul acestora, etc.), implicit probabilitățile de câștig, RTP (Return to Player) și volatilitatea. Această configurație parametrică asigură unicitatea jocului și conformitatea sa cu obiectivele stabilite de producător.
-
RNG-ul (Random Number Generator) este esențial pentru generarea rezultatelor aleatoare la fiecare rotire. Acesta determină stopurile la care se opresc rolele, generând combinațiile de simboluri câștigătoare, în baza unui algoritm matematic special.
-
RTP (Return to Player) reprezintă procentul din mizele (creditele) rulate, returnat jucătorilor pe termen lung sub formă de premii (câștiguri). RTP este o medie statistică, calculată ca raport între suma totală a câștigurilor și suma totală pariată.
-
Volatilitatea este un indicator statistic care reflectă frecvența relativă și cuantumul mediu al câștigurilor, fiind determinată de configurația parametrică a jocului şi schema ratelor de plată. Jocurile cu volatilitate ridicată au câștiguri mai rare, dar mai mari, în timp ce cele cu volatilitate scăzută oferă câștiguri mai frecvente, dar mai mici.
-
Probabilitățile diverselor combinații câștigătoare nu se pot calcula, deoarece configurația parametrică a jocului este de obicei ținută secretă de către producători. Distribuția simbolurilor pe role poate face ca anumite combinații (pe linia de câștig, dar și adiacent acesteia) să aibă o frecvență relativă mai mare, creând efecte psihologice, cum ar fi câștigurile ratate „la milimetru” (near-miss). Aceste efecte pot încuraja jucătorul să continue și sunt obținute prin tehnici speciale care ajustează distribuția și poziția simbolurilor pe role.
Surse:
Fișa PAR a jocului DJ Diamond/Mixed Bars/Sevens de la Bally Gaming – web.archive.org